Ogni corpo ha una certa massa ed è attratto dalla terra con una forza, che è direttamente proporzionale alla sua massa (infatti, l’accelerazione di gravità è la stessa per tutti i corpi). Tale forza dipende anche dalla distanza del corpo dal centro della terra (la molla si allunga in modo diverso , agganciando lo stesso corpo ad altezze diverse dalla superficie terrestre, il peso dipende dalla posizione). Come varia la forza al variare della distanza dal centro della terra? Per dare una risposta a questa domanda possiamo paragonare le accelerazioni di gravità a due distanze diverse. Infatti, il rapporto fra le accelerazioni di gravità, che è bene ricordarlo non dipendono dalla massa del corpo, è uguale al rapporto fra le forze. Newton paragonò l’accelerazione di gravità subita da un corpo sulla superficie terrestre (distanza dal centro pari al raggio terrestre) con l’accelerazione centripeta della luna nel suo moto intorno alla terra. La luna, infatti, è tirata verso la terra dalla stessa forza che fa cadere un corpo sulla superficie terrestre e quindi la sua accelerazione centripeta è l’accelerazione di gravità rispetto alla terra.
Se indichiamo con g(Rl) l’accelerazione di gravità di un corpo che si trovi ad una distanza dal centro terrestre pari alla distanza della luna, g(Rl) =ac e Rl è il raggio dell’orbita lunare.
g(Rl)=ac=v2/Rl
v=2pRl/T con T periodo della luna intorno alla terra
g(Rl)=4p2Rl/T2
Rl=3,8*108m; T=27,32d=27,32*3,6*103*24s=2,36*106s
g(Rl)=4*3,12*3,8*108m/(2,36*106)2s2
g(Rl)=26,2*10(8-12)m/s2=2,6*10-3m/s2
Questa accelerazione di gravità è più piccola di quella che ha un corpo sulla superficie terrestre, a distanza pari al raggio terrestre; quindi, al crescere di R la forza diminuisce.
g(Rt)=9,8m/s2; Rt=6,4*106m
Siccome le accelerazioni diminuiscono il rapporto g(Rt)/ g(Rl) deve essere paragonato con il rapporto Rl/Rt.
g(Rt)/ g(Rl)=9,8m/s2/2,6*10-3m/s2=3,8*103
Rl/Rt=3,8*108m/6,4*106m=0,59*102=5,9*10.
I due rapporti non sono eguali. Eleviamo il secondo al quadrato
Rl/Rt=5,92*102=3,5*103.
I DUE RAPPORTI SONO EGUALI. POSSIAMO PERCIÒ DIRE
(Rl/Rt)2= g(Rt)/ g(Rl).
L’accelerazione di gravità e quindi anche la forza di attrazione è inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra i due corpi.
La forza di attrazione terrestre è perciò direttamente proporzionale alla massa della terra e a quella del corpo che attira e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
F=G*Mt*m/R2
Con G costante di gravitazione universale Mt massa della terra, m massa del corpo e R distanza del corpo dal centro della terra.
R=Rt+h; F=G* Mt*m/(Rt+h)2.
Se h è piccolo rispetto Rt, nella somma può essere trascurato. Da ciò deriva il fatto che la forza di attrazione è costante, il peso di un corpo non cambia per h piccolo rispetto a Rt. L’attrazione che si ha tra la terra e il corpo è reciproca, nel senso che anche il corpo attira la terra, solo che, essendo la massa della terra>> della massa del corpo gli effetti di tale attrazione sulla terra sono nulli (l’accelerazione della terra è zero at=F/Mt).
L’attrazione che si ha fra la terra e un corpo si ha anche fra due corpi qualsiasi e anche fra sole e pianeti dove il sole che ha massa molto maggiore gioca il ruolo della terra rispetto ai pianeti e quindi si può ritenere immobile e i pianeti il ruolo dei corpi.
Fs=G*Ms*Mp/R2 con R distanza sole pianeta.
Questa legge di attrazione fu ottenuta da Newton che dimostrò anche il suo accordo con le tre leggi che Keplero aveva ottenuto tramite osservazioni astronomiche del moto dei pianeti, prendendo il sole come sistema di riferimento.