CONSERVAZIONE DELL' ENERGIA 

Se un corpo si muove da un punto A ad un punto B all’interno di un campo di forze, in cui è definibile un’energia potenziale, sotto l’azione della sola forza del campo (è assente la forza F che annulla la forza del campo), esso cambierà anche velocità in quanto la forza del campo è forza motrice o frenante a seconda che agisca concordemente alla velocità o in senso opposto. Il lavoro LAB fatto da questa forza si può calcolare, prendendo in considerazione o la variazione di energia cinetica (energia finale meno energia iniziale) o la variazione di energia potenziale (energia iniziale meno finale).

                       LAB=EcB-EcA;

                     LAB=EpA-EpB; da cui

                   EpA-EpB=EcB-EcA

passando i termini in A a primo membro e quelli in B al secondo si ha

                    EpA+ EcA=EpB+EcB

La somma dell’energia cinetica e di quella potenziale rimane costante nel tempo, se una diminuisce l’altra aumenta. Del resto, un corpo che si muove in un campo di forze sotto l’azione della sola forza del campo non interagisce con nessun altro corpo e perciò non può compiere né ricevere lavoro (si dice anche che è un sistema isolato) e la sua energia non varia. Siccome la sua energia può essere di due tipi cinetica e potenziale la loro somma deve rimanere costante.

Un corpo inizialmente fermo, posto in un punto A di un campo di forze conservativo, senza che su di esso agisca nessuna forza al di fuori di quella del campo si sposta verso punti in cui la sua energia potenziale diminuisce. Infatti il corpo, che costituisce un sistema isolato, deve mantenere costante la sua energia totale e siccome sotto l’azione della forza del campo acquista velocità e quindi energia cinetica, deve perdere energia potenziale.

Energia potenziale gravitazionale terrestre. indice

Lo spazio intorno alla terra è sede di un campo di forze gravitazionali. Infatti, se in un punto P pongo una massa m, su di essa agirà la forza di attrazione. Se inoltre ci limitiamo a piccole altezze il campo è costante in quanto la forza di attrazione P è costante ed è eguale a m*g. Per veder se in detto campo è definibile un’energia potenziale, scegliamo il suolo come punto ad energia nulla e calcoliamo il lavoro che dobbiamo eseguire per portare il corpo ad un’altezza h, seguendo percorsi diversi. Se il lavoro è lo stesso possiamo definire l’energia potenziale del corpo quando si trova ad un’altezza h eguale al lavoro fatto per portarlo a detta altezza.

Scegliamo tre percorsi diversi.

1) Il primo è quello verticale che porta il corpo dal suolo all’altezza h in modo diretto tramite un percorso verticale. In questo caso la forza F è eguale e contraria a P e lo spostamento s parallelo e concorde a F è proprio h.

                    L=F*s=P*h=mgh

2) Nel secondo caso ci serviamo di un piano inclinato. La forza F in questo caso è eguale e contraria alla componente parallela della forza peso Pp e lo spostamento parallelo e concorde a F è la lunghezza del piano l.

                           Pp=P*h/l.

           L=F*s=Pp*l=P*h/l*l=P*h=mgh.

3)Nel terzo caso il percorso è fatto a gradini. La forza F eguale e contraria a P nei tratti verticali è parallela e concorde agli spostamenti h1,h2…., e nei tratti orizzontali è perpendicolare agli spostamenti perciò nullo. Dobbiamo perciò sommari il lavoro fatto nei tratti verticali.

       L=P*h1+P*h2+….=P*(h1+h2+…)=P*h=mgh

Come si può notare , cambiando il percorso, il lavoro rimane sempre lo stesso, è perciò definibile un’energia potenziale gravitazionale il cui valore nel punto P è proprio:

                        Ep=mgh

Dove h è l’altezza del punto P rispetto alla quota scelta come suolo o ad energia potenziale nulla. Si noti che cambiando la quota in cui assumiamo l’energia potenziale eguale a zero cambierà l’energia potenziale del punto, non cambierà la differenza fra l’energia potenziale di due punti. Consideriamo due punti A e B e due quote diverse ad energia potenziale nulla S e S’ EpA=mghA; EpB=mghB; E’pA=mgh’A; E’pB=mgh’B;

EpA-EpB=mg(hA-hB)

E’pA-E’pB=mg(h’A-h’B)

(hA-hB) =(h’A-h’B) per cui sarà EpA-EpB= E’pA-E’pB=LAB

Un corpo che si trova ad una certa altezza h dal suolo possiede energia potenziale pari a mgh ed energia cinetica nulla. Se lasciato libero scende verso il suolo acquistando energia cinetica e perdendo energia potenziale, ma in modo che la somma delle due energie sia sempre la stessa ed eguale all’energia iniziale.

                EM=Ec+Ep=EMiniziale=mgh

Ad un’altezza h1<h sarà 1/2mv12+mgh1=mgh

Dove v1 è la velocità del corpo all’altezza h1. Quando il corpo arriva al suolo l’energia potenziale sarà nulla e quindi tutta l’energia sarà cinetica. Perciò se v è la velocità di arrivo al suolo sarà.

      1/2mv2 (energia finale)=mgh(energia iniziale)

                   v2=2gh; v=radq(2gh).

Se un corpo scivola lungo un piano inclinato e la sua altezza iniziale è h, anche se percorre uno spazio maggiore, avrà alla fine del piano la stessa intensità della velocità. Infatti, la sua energia iniziale sarà solo potenziale e pari a mgh e la sua energia finale solo cinetica e pari a 1/2mv2.

Un corpo lanciato verso l’alto raggiunge un’altezza h tale che la sua energia potenziale a detta altezza mgh sia eguale all’energia cinetica al suolo 1/2mv2. Al suolo l’energia è solo cinetica, alla massima altezza solo potenziale.

mgh=1/2mv2; h=v2/(2g).

Una sfera che si trovi ferma nella posizione h possiede energia potenziale mgh. Se comincia a scendere perde energia potenziale e acquista energia cinetica che diventa massima in O, quota minima energia potenziale nulla. Prosegue sulla salita perdendo energia cinetica e riacquistando energia potenziale. Arrivando in h1<h con un residuo di energia cinetica, supera questo punto cominciando la nuova discesa. Scende fino alla nuova quota minima e ricomincia la nuova salita. Quando arriva in h2=h la sua energia diventa tutta potenziale e quindi la velocità è nulla. Il corpo, perciò, si ferma e torna indietro fino a raggiungere di nuovo h. Se il corpo parte da una quota che è maggiore di tutte le altre, come accade nelle montagne russe, riuscirà a superare tutte le salite che incontra.

                      ENERGIA POTENZIALE ELASTICA  

Per comprimere o allungare una molla si deve compiere un certo lavoro, che si trasforma in energia potenziale elastica. Infatti, se vogliamo spostare l’estremo di una molla dalla sua posizione di riposo, senza che esso acquisti velocità, dobbiamo applicare una forza eguale e contraria alla forza elastica della molla che farebbe ritornare la stessa nella sua posizione originaria. Poiché Fel=-kelx con x distanza dalla posizione di riposo O, F=kelx. Questa forza provoca lo spostamento x, parallelo e concorde con essa, e quindi compie un lavoro positivo, che è proprio eguale all’energia potenziale elastica, se assumiamo tale energia nulla nella posizione O.

La difficoltà nel calcolare il lavoro fatto dalla forza F quando l’estremo della molla è spostato dalla posizione O alla posizione A, consiste nel fatto che durante lo spostamento x la forza F varia al variare di x. Dobbiamo perciò prender l’intero spostamento x e dividerlo in tanti piccoli spostamenti Deltax prossimi a zero in modo che la forza possa essere, all’interno di ogni Deltax, ritenuta costante. Si calcola quindi il lavoro, compiuto in ogni Deltax: DeltaL1=F1Deltax=kelx1Deltax; DeltaL2=F2Deltax=kelx2Deltax…..;DeltaLi=FiDeltax=kelxiDeltax……. e infine tutti questi lavori infinitesimi si sommano fra di loro.

Il grafico in figura ci dà la variazione di F al variare di x (F=kelx). Il segmento CD rappresenta Dx, il segmento BD la forza F in detto intervallo. Quindi il DL=FDx di detto intervallo è rappresentato nel grafico dall’area del rettangolo ABDC. Il lavoro, che è la somma dei DL dei vari intervalli Dx, nel grafico è la somma dei vari rettangoli come ABCD. Tale somma ci dà l’area del triangolo OEF a meno dei triangolini, come CDH, che sono tanto più trascurabili quanto più Dx è prossimo a zero. Possiamo perciò concludere che il lavoro è eguale all’area del triangolo OEF.

L=Area(OEG)=1/2EG*OG=1/2F*x=1/2kelx*x=1/2kelx2=Ep el

Si noti che l’energia potenziale elastica è positiva sia per x positivi che negativi, cioè sia per allungamenti che per compressioni e che se x è eguale in valore assoluto l’energia potenziale è la stessa.

Una molla compressa possiede energia potenziale e se spinge un corpo di massa m, la molla e il corpo costituiscono un sistema isolato, la cui energia meccanica deve rimanere costante. Perciò quando la molla si espande, perde energia potenziale elastica e il corpo acquista energia cinetica. Arrivati in O, posizione di riposo, la molla resta ferma e il corpo prosegue con velocità costante v. Vi è stato un trasferimento di energia dalla molla al corpo e quindi l’energia cinetica del corpo è eguale all’energia potenziale elastica che possedeva la molla.

1/2mv2=1/2kelx2; v2=kel/m*v2; v=x*sqrt(kel/m).

Oscillatore armonico.

Se la molla è legata ad un corpo di massa m ed è compressa o allungata, quando è lasciata libera comincia ad oscillare attorno alla posizione di riposo raggiungendo due posizioni A e B simmetriche rispetto ad O (posizione di riposo).

 Esaminiamo queste oscillazioni dal punto di vista dell’energia. Quando si porta la molla nella posizione A essa riceve lavoro che si trasforma in energia potenziale elastica. Una volta lasciata libera la molla è un sistema isolato e la sua energia deve rimanere costante. La molla, sotto l’azione della forza elastica, si sposta da A ad O perdendo energia potenziale elastica e acquistando energia cinetica. In O l’energia è solo cinetica, poi proseguendo verso B la molla perde energia cinetica e acquista energia potenziale. Nel punto di ritorno B la velocità si annulla e quindi l’energia è di nuovo solo potenziale. Dopo aver raggiunto B la molla torna di nuovo verso O e poi verso A e così all’infinito. Se la molla non interagisce con nessun altro corpo la sua energia non cambia e quindi l’ampiezza d’oscillazione xB, massima distanza dalla posizione di riposo, rimane invariata nel tempo.

In A l’energia è solo potenziale E=1/2kelxA2

In X1 l’energia è la somma di quella cinetica e potenziale E=1/2mv12+1/2kelx12.

In O l’energia è solo cinetica E=1/2mvo2.

In B l’energia è solo potenziale. E=1/2kelxB2.

In qualsiasi punto esse sono calcolate,la somma dell’ energie deve essere eguali e quindi:

1/2kelxA2=1/2mv12+1/2kelx12=1/2mvo2=1/2kelxB2.

Da queste eguaglianze si può evincere che:

|xA|=|xb|=A(ampiezza di oscillazione).

vo=A*sqrt(kel/m).

L’energia posseduta da un oscillatore si può calcolare in un punto qualsiasi, ma conviene in un punto di ritorno in cui non c’è energia cinetica

                                          E=1/2kelA2

Se l’oscillatore è isolato, la sua ampiezza di oscillazione rimane sempre la stessa, altrimenti, se diminuisce, l’oscillatore perde energia, se aumenta, acquista energia.

Nel pendolo il posto dell’energia potenziale elastica è preso dall’energia potenziale gravitazionale. Infatti, prendiamo O, posizione di riposo, come quota in cui l’energia potenziale è nulla. Quando il pendolo si trova in A possiede solo energia potenziale mghA. Andando da A verso O perde energia potenziale e acquista energia cinetica. In O l’energia potenziale è nulla e quella cinetica è massima. Dopo il corpo comincia la salita verso B perdendo energia cinetica e riacquistando energia potenziale. In B hb=hA, l’energia cinetica è nulla e l’energia sarà solo potenziale mghB=mghA. Se il pendolo è un sistema isolato la sua energia rimane costante e per questo deve raggiungere sempre gli stessi punti di ritorno A e B(ovvero la stessa massima quota).