CAMPO ELETTRICO

Una carica elettrica, posta in un punto O, modifica le proprietà dello spazio circostante. Infatti, se nel punto P poniamo una carica q (di prova) su di essa agisce una forza di natura elettrica. La direzione sarà lungo la congiungente OP e l’intensità sarà data dalla legge di Coulomb

                                           F =K*Q*q/R^2

Se Q e q sono dello stesso segno la forza è repulsiva, se di segno opposto sarà attrattiva. Per spiegare tale forza diremo che ogni punto circostante Q è diventato sede di un campo elettrico. La causa della forza che agisce su q è il vettore campo elettrico che si trova nel punto P e non la carica Q che è lontana da essa. Poiché, all’aumentare di q, aumenta anche F in modo direttamente proporzionale, il rapporto F/q non dipende dalla carica di prova, ma è una proprietà del punto, che chiameremo campo elettrico E. 

                    E=f/q=KQ/R2 con R distanza dalla carica generatrice.

Il campo elettrico è quindi una proprietà del punto e la carica q serve per misuralo. Il campo elettrico è una grandezza vettoriale, che avrà la stessa direzione e verso della forza che agisce su q, se la carica di prova è positiva. Se il campo è creato da più cariche generatrici esso si può ottenere come somma vettoriale dei campi generati dalle singole cariche.

LINEE DI FORZA

Le proprietà e l’andamento nello spazio di un campo elettrico può essere rappresentato tramite le linee di forze.

Le caratteristiche delle linee di forza sono le seguenti:

1)  In ogni punto del campo il vettore del campo elettrico E è ad esse tangente e il suo verso coincide con il verso delle linee;

2)  La loro densità, il numero per unità di volume dipende dall’intensità del campo. Dove sono più dense il campo è maggiore;

3)  Le linee del campo non devono mai intersecarsi fra di loro.

Teoricamente per costruire una linea di forza, dovremo porre una carica di prova in un punto P per determinare la direzione e il verso del campo, spostarci in questa direzione e verso in un punto P’ ad esso molto vicino, in modo che la distanza PP’ sia prossima a zero, e così di seguito. Unendo i vari punti, che avremo segnato otterremo una linea di forza. Qui di seguito sono rappresentate le linee di forza di alcuni campi particolari.

Campo generato da cariche puntiformi

Sono rappresentate da tanti raggi, uscente se la carica è positiva, entranti se la carica è negativa e che formano fra di loro uno stesso angolo. Infatti, l’intensità del campo elettrico, in questo caso, è inversamente proporzione al quadrato del raggio. La densità delle linee di forze è data dal rapporto fra il numero totale delle linee diviso la superficie sferica, di raggio R (distanza dalla posizione della carica). Siccome la superficie di una sfera è eguale a 4pigrcoR2, anche la densità delle linee di forze, come l’intensità del campo, è inversamente proporzionale al quadrato di R. 

Linee di forze creato da due cariche, nel primo caso di segno opposto, nell’altro dello stesso segno 

Linee di forza di un capo, creato da due superficie metalliche, caricate di segno opposto. Il campo all’esterno è nullo, in quanto gli effetti delle cariche opposte si annullano, all’interno, dove gli effetti si sommano è costante. Infatti, le linee di forza sono parallele.

Flusso di E attraverso una superficie S.

Nelle tre figure le linee con le frecce rappresentano le linee di forza di un campo elettrico, la linea in rosso una superficie S. Nella figura n.1 la superficie è disposta perpendicolarmente alle line di forze ed è attraversata da quattro linee di forza. Nella seconda la stessa superficie è disposta parallelamente alle linee di forza e non è attraversata da nessuna linea di forza. Nella terza la superficie forma con le linee di forza un angolo alfa ed è attraversata da tre linee di forze. La linea in celeste, che chiameremo Sn e che rappresenta la proiezione di S sulla perpendicolare alle linee di forze, è attraversata dallo stesso numero di linee di forze di S. Se con flusso del campo elettrico indichiamo il numero di linee di forze che attraversano una data superficie avremo, nel primo caso, tralasciando le unità di misure, Flusso=4, nel secondo Flusso=0 e nel terzo Flusso=3. In generale Flusso=n*Sn dove n rappresenta la densità delle linee di forze e Sn la proiezione della superficie S sulla perpendicolare alle linee di forza.

(Sn coincide con S nel primo caso, è zero nel secondo caso e coincide con la linea celesta nel terzo). Ricordando che la densità delle linee di forza è proporzionale all’intensità del campo elettrico E, possiamo anche dire che

                                      Flusso=ESn= EScos(alfa) [Nm2/C]

con alfa, angolo formato dalla superficie e dalle linnee di forza o dalla normale alla superficie e le linee di forza.

Se la superficie è chiusa il flusso entrante è positivo, quello uscente negativo.

Vogliamo ora dimostrare che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è eguale alla somma delle cariche interne diviso la costante dielettrica.

Dimostriamo il teorema nel caso di una superficie sferica di centro O, in cui nel punto P è posta una carica positiva. Dividiamo la superficie sferica in tante superficie DS, prossime a zero, in modo che queste superficie possano essere assimilate a superficie piane. Nella figura la freccia in nero che parte da O è la perpendicolare alla superficie sferica e, quindi, anche a DS, la freccia in rosso rappresenta una linea di forza del campo elettrica, w l’angolo solido, tracciato da P e le cui superficie laterali siano tangenti alla superficie DS, a l’angolo piano fra la linea di forza e la normale alla superficie DS. Si noti, che questo angolo è uguale all’angolo fra la superficie DS e la proiezione di detta superficie sul piano perpendicolare alle linee di forza.

                       DFlusso=EDScos(a)

DScos(a) rappresenta la proiezione di DS sul piano perpendicolare alle linee di forza. Poiché, come detto omega è prossimo a zero, detta proiezione coincide con la superficie DS’, intercettata dall’angolo solido con la sfera di centro P e raggio d, distanza fra P e la sfera di centro O, in figura rappresentata dal cerchio verde.

Come l’angolo piano è definito come rapporto tra arco e R, così l’angolo solido è definito come rapporto fra l’area della superficie sferica e il raggio al quadrato.

Da questa definizione si può dedurre che:

DS’=omega*d2   per cui DF=E*omega*d2  

Il flusso totale si ottiene sommando tutti i DF delle superficie in cui è stata divisa la superficie sferica

Se la carica all’interno della superficie chiusa è positiva le linee di forza escono e il flusso è positivo, se la carica è negativa il flusso sarà negativo. Se vi sono più cariche Q sarà la soma algebrica delle varie cariche.

Esaminiamo il caso di una carica esterna alla superficie. 

Dal punto P tracciamo un angolo solido, prossimo a zero, e che interseca la sfera creando due superficie, DS1 e DS2 . Si noti che gli angoli a fra la direzione del campo e la normale alle due superficie sono eguali.

Siano R1e R2 le distanze dalle due superficie dalla carica posta in P. Il flusso sulla prima superficie è negativo, sul secondo positivo.

I due flussi saranno eguali in valore assoluto e la loro somma è nulla. Il flusso totale che è la somma dei vari DF è zero.

In conclusione, possiamo affermare che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è eguale alla somma algebrica delle cariche interne diviso la costante dielettrica.

ENERGIA POTENZIALE

I lavori fatti dalla forza del campo F lungo i percorsi AB e A'B' sono eguali, in quanto le forze che agiscono sulla carica q sono identici (la distanza r da Q è la stessa) ed anche gli spostamenti sono gli stessi: Lungo i tratti di circonferenza AA' e BB' il lavoro fatto da F è nullo poiché forza e spostamento sono perpendicolari. Sarà perciò LAB = LAA'B’B.  Si può dimostrare, che qualunque sia il percorso, il lavoro, fatto dal campo, dipende solo dal punto iniziale e finale. Infatti, ogni percorso può essere scomposto in infinitesimi spostamenti radiali e perpendicolari al raggio, in cui il lavoro è nullo. Il lavoro è dato dalla somma degli spostamenti radiali, che coincidono al lavoro fatto lungo un raggio qualsiasi, a parità di circonferenza iniziale e finale, come A’B’ e AB in figura. Poiché le forze del campo compiono un lavoro che è indipendente dal percorso compiuto e che dipende solo dal punto iniziale e finale, possiamo definire un’energia potenziale elettrica. Se prendiamo l'infinito come punto ad energia potenziale zero, l'energia potenziale nel punto A sarà eguale al lavoro fatto dalla forza del campo per spostare la carica q da A all'infinito.

Si noti che kQq/rA ha le unità di misura di un’energia (Joule), dipende dalla posizione A, in cui si pone la carica q, ed è nulla all'infinito. Rappresenta, proprio, il lavoro fatto dal campo elettrico per spostare la carica q da A all'infinito ed è perciò l'energia potenziale della carica q posta nel punto A. Tale energia dipende dal punto in cui è posta la carica e dalla carica q stessa. La differenza fra l’energia potenziale iniziale e l’energia potenziale finale ci dà il lavoro fatto dalla forza del campo.

                       LAB= UA- UB

        POTENZIALE E DIFFERENZA DI POTENZIALE

L’energia potenziale dipende come detto dal punto e dalla carica q.

La grandezza V= U/q dipende solo dal punto, è, cioè, una proprietà del punto come il campo elettrico, ma invece di essere vettoriale è scalare. V si chiama potenziale elettrico e si misura in volt. J/C= volt. Il fatto che sia scalare rende il suo calcolo più semplice.

 Il potenziale di un campo, creato da una carica puntiforme è:

                               V=KQ/R

con R distanza del punto dalla carica generatrice. Se la carica Q è positiva il potenziale è positivo ed è decrescente, andando verso l’infinito in cui si annulla. Viceversa, se la carica è negativa il potenziale è negativo ed il suo massimo si ha all’infinito, dove si annulla. Se il campo è creato da più cariche, il potenziale è la somma algebrica dei campi generati separatamente dalle singole cariche.

La d.d.p. Va-Vb è il lavoro fatto dal campo elettrico quando da A a B si sposta la carica unitaria positiva. Infatti, se da A a B si sposta la carica q il lavoro fatto dal campo è:

   LAB=UA- UB=qVA-VB=q(VA- VB); 

                    VA- VB= LAB/q

Le superficie equipotenziali sono quelle superficie i cui punti si trovano tutti allo stesso potenziale. Esse sono sempre perpendicolari al campo elettrico.

 Infatti se sposto una carica fra due punti di una superficie equipotenziale il lavoro è nullo essendo d.d.p=0. Poiché  forza e spostamento sono diversi da zero, per essere L=0 deve aversi che forza e spostamento siano fra di loro perpendicolari.

La conoscenza del potenziale elettrico e delle superficie equipotenziali ci permette anche di calcolare il campo elettrico. Prendiamo un punto A e da esso ci spostiamo di un tratto Ds, prossimo a zero, perpendicolare alla superficie equipotenziale di cui fa parte A e verso superficie a potenziale minore. Stiamo percorrendo uno spazio parallelo al vettore E e con lo stesso verso. La differenza di potenziale, che conosciamo, sarà perciò eguale a EDs .

                    DV= EDs       E= DV/Ds                           

 Una carica elettrica libera, posta in un punto del campo elettrico, sotto l’azione della forza del campo acquista velocità e quindi energia cinetica. Siccome si tratta di un sistema isolato, la sua energia deve rimanere costante. Quindi, acquistando energia cinetica, deve perdere energia potenziale elettrica e spostarsi quindi sempre verso punti ad energia potenziale minore.

A            B       Se VA >V B   e q>0 sarà     q VA >q V B

La carica, perciò sotto l’azione del campo, si sposta da A a B (da potenziale maggiore a minore).Se invece sarà q<0 e VA >V B avremo q VA <q V B.

In questo caso q si sposta sotto l’azione del campo da B ad A, da potenziale minore a maggiore.

I corpi conduttori metallici sono quelli in cui esistono degli elettroni liberi di spostarsi sotto l’azione del campo. Pertanto, se fra i vari punti del conduttore esiste una d.d.p., gli elettroni liberi si muovano da potenziale minore a maggiore.  Perciò, se carichiamo un conduttore, le cariche si distribuiscono su di esso in modo che il conduttore sia una superficie equipotenziale e il campo elettrico al suo interno sia nullo. In tal modo le cariche elettriche libere di spostarsi stanno in equilibrio.