circuito LC

Circuito LC

Consideriamo il seguente circuito, formato da un condensatore di capacità C e di un solenoide il cui coefficiente di autoinduzione è L in serie. Il condensatore è stato caricato con una carica Q e quindi ha una differenza di potenziale V. Se ad un cero istante l’interruttore è chiuso, il condensatore si scarica e una corrente i circola nel solenoide, creando un campo magnetico. Vi è perciò un trasferimento di energia dal campo elettrico che esiste fra le armature del condensatore al campo magnetico creato dalla corrente nel solenoide. Una volta che il condensatore si è completamente scaricato, la corrente lo ricarica fino a quando non riprende la carica iniziale e la corrente diminuisce fino ad annullarsi. L’ energia magnetica si trasforma in energia del campo elettrico anche se le armature hanno invertito la carica. Di nuovo il condensatore si scarica e l’energia elettrica si trasforma in magnetica e così all’infinito, se la resistenza del circuito è nulla.

Quando l’interruttore si chiude una carica Dq passa nel circuito, creando una corrente, che varia nel tempo. Si crea perciò una forza elettromotrice di autoinduzione, che istante per istante è equale alla differenza di potenziale ai capi del condensatore V=q/c dove q è la carica che in quell’istante è sul condensatore. Si avrà perciò:

Prendiamo adesso la forza elastica di una molla che dà luogo alle sue oscillazioni.

Ma v=Dx/Dt

Confrontando le equazioni 1 e 2 si può facilmente notare che x e q hanno la stessa correlazione tramite le costanti k/m e 1/(LC), che entrambe hanno come unità di misura 1/s2. Siccome abbiamo visto che una molla allungata e lasciata libera si muove di moto armonico secondo la legge x=x0cos(wt) con w = 2p/T e T=2pradq(m/k), così anche la carica dell'armatura del condensatore deve variare in funzione del tempo in modo armonico. q=q0cos(wt) con q0 carica iniziale e     w = 2p/T e 

T=2pradq(LC) La corrente è data dal rapporto Dq/Dt per Dt tendente a zero e tale rapporto è il coefficiente della retta tangente nei vari punti del grafico di q in funzione di t.

Dal grafico si può notare che il coefficiente angolare della tangente è nullo per t=0 poi diventa negativo per raggiungere il valore minimo a T/4 ed annullarsi per t=T/2, poi diventa positivo, raggiunge il massimo a ¾ di T e si annulla a t=T.

Il grafico seguente ci fa vedere come varia q in funzione di t e come varia i in funzione sempre di t.

Come si nota q0=10°A*s  ; i0 =6,3 ;T=10s ;w=0,63;   i0/q0=0,63  equale ad w.

 q=q0cos(wt);    i=i0sen(wt); i=wq0sen(wt)

In questo altro caso q0=10 a*s;i0 =12,5;T=5s; w=1,3(1/s ); i0/q0=1,25(1/s) =w.

Si noti come fino a T/4 la carica diminuisce fino ad annullarsi, quindi il condensatore perde energia elettrica, la corrente invece aumenta in valore assoluto e perciò il campo magnetico acquista energia, dopo il condensatore si carica, anche se in modo opposto e la corrente si annulla ( si ha perdita di energia del campo  magnetico e acquisto di energia del campo elettrico) E così di seguito.  Come nella molla c’è un continuo scambio di energia fra quella potenziale e quella cinetica, così nel circuito LC c’è un continuo scambio di energia fra condensatore e solenoide e cioè fra energia del campo elettrico e quella del campo magnetico. Se il circuito possiede una resistenza R, passando corrente c’è dissipazione di energia per effetto Joule RI2 e perciò le oscillazioni di q e i saranno smorzate nel tempo.